2. 证明:设S属于Rn为一非空凸集，f(x)是定义在S上凸函数，则f(x)在S上的局部极小点是全局极小点，且极小点的集合为凸集。最优化理论证明

证明这个结论可以分为两个部分：首先证明凸函数在凸集上的局部极小点是全局极小点，其次证明凸函数的极小点集合是凸集。

第一部分：局部极小点是全局极小点

假设函数 ( f: S \rightarrow \mathbb{R} ) 是定义在非空凸集 ( S \subseteq \mathbb{R}^n ) 上的凸函数，并且 ( x_0 ) 是 ( f ) 在 ( S ) 上的局部极小点。那么根据局部极小点的定义，存在一个 ( x_0 ) 的邻域 ( N(x_0) ) 使得对于所有 ( x \in N(x_0) \cap S )，都有 ( f(x) \geq f(x_0) )。

现在要证明 ( x_0 ) 同时也是全局极小点。假设存在另一个点 ( x_1 \in S ) 使得 ( f(x_1) < f(x_0) )。因为 ( S ) 是凸集，所以连接 ( x_0 ) 和 ( x_1 ) 的线段 ( [x_0, x_1] ) 完全包含在 ( S ) 内。考虑线段上的点 ( x(\theta) = \theta x_1 + (1 - \theta)x_0 )，其中 ( 0 < \theta < 1 )。

由于 ( f ) 是凸函数，我们有：

[ f(x(\theta)) \leq \theta f(x_1) + (1 - \theta)f(x_0) < \theta f(x_0) + (1 - \theta)f(x_0) = f(x_0) ]

这表明当 ( \theta ) 足够小的时候，( x(\theta) ) 将在 ( x_0 ) 的邻域内，并且 ( f(x(\theta)) < f(x_0) )，这与 ( x_0 ) 是局部极小点的假设矛盾。因此，不存在这样的 ( x_1 ) 使得 ( f(x_1) < f(x_0) )，这意味着 ( x_0 ) 实际上是全局极小点。

第二部分：极小点集合是凸集

假设 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 是 ( f ) 在 ( S ) 上的两个极小点，并且 ( \lambda ) 是介于 0 和 1 之间的任意实数。我们需要证明 ( x(\lambda) = \lambda x_2 + (1 - \lambda)x_1 ) 也是 ( f ) 的极小点。

由于 ( f ) 是凸函数，我们有：

[ f(x(\lambda)) \leq \lambda f(x_2) + (1 - \lambda)f(x_1) ]

由于 ( x_1 ) 和 ( x2 ) 都是极小点，它们在 ( S ) 上的函数值相等，记为 ( f{\text{min}} )。因此：

[ f(x(\lambda)) \leq \lambda f{\text{min}} + (1 - \lambda)f{\text{min}} = f_{\text{min}} ]

这说明 ( x(\lambda) ) 的函数值不会超过 ( f_{\text{min}} )，也就是说 ( x(\lambda) ) 也是 ( f ) 的一个极小点。这证明了极小点的集合是凸集。

综上所述，我们证明了凸函数在凸集上的局部极小点是全局极小点，并且凸函数的极小点集合是凸集。