4coswt的傅里叶变换

要计算函数 (4\cos(wt)) 的傅里叶变换，我们首先回顾一下傅里叶变换的定义。对于一个连续时间函数 (f(t))，其傅里叶变换 (F(\omega)) 定义为：

[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt ]

给定的函数是 ( f(t) = 4\cos(wt) )。我们可以用欧拉公式将余弦函数表示为复数指数的形式：

[ \cos(wt) = \frac{e^{jwt} + e^{-jwt}}{2} ]

因此，函数变为：

[ f(t) = 4 \left(\frac{e^{jwt} + e^{-jwt}}{2}\right) = 2e^{jwt} + 2e^{-jwt} ]

现在，我们可以分别计算这两部分的傅里叶变换：

1. 对于 (2e^{jwt})： [ \mathcal{F}{2e^{jwt}} = 2 \int{-\infty}^{\infty} e^{jwt} e^{-j\omega t} \, dt = 2 \int{-\infty}^{\infty} e^{j(w-\omega)t} \, dt ] 这是一个狄拉克δ函数的积分形式，结果是： [ 2 \cdot 2\pi \delta(\omega - w) = 4\pi \delta(\omega - w) ]

2. 对于 (2e^{-jwt})： [ \mathcal{F}{2e^{-jwt}} = 2 \int{-\infty}^{\infty} e^{-jwt} e^{-j\omega t} \, dt = 2 \int{-\infty}^{\infty} e^{-j(w+\omega)t} \, dt ] 同样，这也是一个狄拉克δ函数的积分形式，结果是： [ 2 \cdot 2\pi \delta(\omega + w) = 4\pi \delta(\omega + w) ]

将这两部分的结果相加，得到 (4\cos(wt)) 的傅里叶变换：

[ \mathcal{F}{4\cos(wt)} = 4\pi \delta(\omega - w) + 4\pi \delta(\omega + w) ]

因此，最终的傅里叶变换结果是：

[ \boxed{4\pi [\delta(\omega - w) + \delta(\omega + w)]} ]