为什么实对称矩阵相似，则必能推出合同？

实对称矩阵的相似性和合同性之间存在特殊的关系，这是因为实对称矩阵具有一些独特的性质。以下是为什么实对称矩阵相似则必然合同的解释：

1. 实对称矩阵的性质

实对称矩阵满足以下性质：

• 自伴性（Hermitian）：( A^T = A )
• 特征值实数：实对称矩阵的所有特征值都是实数。
• 正交可对角化：实对称矩阵可以被正交矩阵对角化，即存在一个正交矩阵 ( P )（满足 ( P^T = P^{-1} )），使得 ( P^TAP ) 是一个对角矩阵。

2. 实对称矩阵相似

如果两个实对称矩阵 ( A ) 和 ( B ) 相似，则存在一个可逆矩阵 ( P ) 使得： [ B = P^{-1}AP ]

3. 正交对角化

由于 ( A ) 和 ( B ) 都是实对称矩阵，它们都可以被正交矩阵对角化。设： [ D_A = P_1^TAP_1 ] [ D_B = P_2^TBP_2 ] 其中 ( D_A ) 和 ( D_B ) 是对角矩阵，包含 ( A ) 和 ( B ) 的特征值，且 ( P_1 ) 和 ( P_2 ) 是正交矩阵。

4. 相似性的联系

由于 ( A ) 和 ( B ) 相似，我们有： [ B = P^{-1}AP ] 将 ( A ) 的对角化形式代入上式： [ B = P^{-1}(P_1^TDP_1)P ] [ B = (P_1P^{-1})^TDP_1P^{-1} ]

5. 合同性

由于 ( P_1P^{-1} ) 是可逆的，设 ( Q = P_1P^{-1} )，则 ( Q ) 是可逆的。因此，我们有： [ B = Q^TDQ ] 这表明 ( B ) 可以由 ( D )（即 ( A ) 的特征值矩阵）通过 ( Q^T ) 和 ( Q ) 合同变换得到。

因此，如果两个实对称矩阵相似，它们必然具有相同的特征值（尽管顺序可能不同），并且可以找到一个可逆矩阵 ( Q ) 使得它们通过合同变换相互转换。这就是为什么实对称矩阵相似则必然合同的原因。