求出循环群Z8中每个元素的阶、所有生成元以及所有子群

在抽象代数中，循环群 ( Z_8 ) 是模 8 的加法群，由集合 ( {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ) 组成，群运算为模 8 的加法。该群是有限群，并且是阿贝尔群（交换群）。

元素的阶

循环群 ( Z_8 ) 中每个元素的阶是指最小的正整数 ( n ) 使得 ( n \cdot a \equiv 0 \pmod{8} ) ，其中 ( a ) 是群中的元素。由于 ( Z_8 ) 是模 8 的加法群，我们可以确定每个元素的阶如下：

• ( \text{ord}(0) = 1 )（任何数与 0 相乘都等于 0）
• ( \text{ord}(1) = 8 )（每 8 个 1 相加等于 0 模 8）
• ( \text{ord}(2) = 4 )（每 4 个 2 相加等于 0 模 8）
• ( \text{ord}(3) = 8 )
• ( \text{ord}(4) = 2 )（每 2 个 4 相加等于 0 模 8）
• ( \text{ord}(5) = 8 )
• ( \text{ord}(6) = 4 )
• ( \text{ord}(7) = 8 )

这里，( \text{ord}(x) ) 表示元素 ( x ) 的阶。

生成元

生成元是循环群内的一个元素，其通过群运算可以生成群内的所有其他元素。在 ( Z_8 ) 中，生成元是阶为群的阶（这里是 8）的元素。因此，( Z_8 ) 的生成元是：

• ( 1 )（因为 ( 1 \cdot 1 = 1 ), ( 2 \cdot 1 = 2 ), ..., ( 8 \cdot 1 = 0 )）

子群

循环群 ( Z_8 ) 的所有子群也是循环的。子群包括：

• ( {0} )（平凡子群）
• ( \langle 1 \rangle = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} )（整个群本身）
• ( \langle 2 \rangle = {0, 2, 4, 6} )（阶为 4 的循环子群）
• ( \langle 4 \rangle = {0, 4} )（阶为 2 的循环子群）

这些子群包括了 ( Z_8 ) 的所有子群，因为任何子群都是由某个元素生成的，而这些元素的阶是 8 的因数（1, 2, 4, 8）。