4、一张面值为1000 元，票面利率为 5.5%的3年期债券，每年年末付息一次，到期收益率为8.5%，请计算该债券的持续期。

债券的持续期（Duration）是一个衡量债券价格对利率变动敏感度的指标。对于一个每年付息一次的债券，其持续期可以通过以下公式来计算：

[ D = \frac{\sum_{t=1}^{n} \left( \frac{C}{(1+y)^t} \times t \right) + \frac{M(1+y)^n}{(1+y)^n} \times n}{P} ]

其中：

• ( C ) 是债券每年的利息收益；
• ( M ) 是债券的面值；
• ( y ) 是债券的到期收益率；
• ( t ) 是各期的时间；
• ( n ) 是债券的剩余期限；
• ( P ) 是债券的当前市价。

根据题目所给信息，我们有：

• 面值 ( M = 1000 ) 元；
• 票面利率 ( \text{Coupon Rate} = 5.5\% )，因此每年的利息收益 ( C = M \times \text{Coupon Rate} = 1000 \times 0.055 = 55 ) 元；
• 到期收益率 ( y = 8.5\% )，即 ( y = 0.085 )；
• 剩余期限 ( n = 3 ) 年。

债券的现价 ( P ) 可以通过贴现现金流的方式计算得出：

[ P = \frac{55}{(1+0.085)^1} + \frac{55}{(1+0.085)^2} + \frac{55}{(1+0.085)^3} + \frac{1000}{(1+0.085)^3} ]

计算每一期的贴现值：

[ \frac{55}{1.085} \approx 50.777 ] [ \frac{55}{(1.085)^2} \approx 45.967 ] [ \frac{55}{(1.085)^3} \approx 41.499 ] [ \frac{1000}{(1.085)^3} \approx 782.278 ]

将这些值相加得到债券的现价 ( P )：

[ P \approx 50.777 + 45.967 + 41.499 + 782.278 = 920.521 ]

现在我们计算持续期 ( D )：

[ D = \frac{50.777 \times 1 + 45.967 \times 2 + 41.499 \times 3 + 782.278 \times 3}{920.521} ]

[ D \approx \frac{50.777 + 91.934 + 124.497 + 2346.834}{920.521} ]

[ D \approx \frac{2614.032}{920.521} ]

[ D \approx 2.839 ]

所以该债券的持续期大约是2.839年。