从真空麦克斯韦方程出发导出电荷守恒定律的微分形式和真空中的波动方程

从麦克斯韦方程出发导出电荷守恒定律的微分形式和真空中的波动方程涉及电磁理论中一些经典推导。麦克斯韦方程组在真空中的微分形式由以下四个方程组成：

1. 高斯定律： [ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} ]
2. 高斯磁定律： [ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 ]
3. 法拉第电磁感应定律： [ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ]
4. 安培环路定律（包含位移电流）： [ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ]

其中，(\mathbf{E}) 是电场，(\mathbf{B}) 是磁场，(\rho) 是电荷密度，(\mathbf{J}) 是电流密度，(\varepsilon_0) 是真空电容率，(\mu_0) 是真空磁导率。

导出电荷守恒定律

电荷守恒定律的微分形式要求电荷的局部变化率等于电流密度散度加上流入或流出的电荷。根据电荷守恒原理，我们有： [ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 ] 由麦克斯韦方程组的安培环路定律和高斯定律，我们可以通过取散度和时间偏导数来验证这一点： [ \nabla \cdot \left(\mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ] [ \nabla \cdot \mathbf{J} = -\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{E}) = -\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} ] 这证明了电荷守恒定律的微分形式。

导出真空中的波动方程

真空中没有自由电荷和电流，因此(\rho = 0) 和 (\mathbf{J} = 0)。将这些条件代入麦克斯韦方程组，我们得到： [ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ] [ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ] 取(\mathbf{B})方程的散度并利用高斯磁定律： [ \nabla \cdot \left(\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) = 0 ] 使用向量恒等式 (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A})： [ \nabla \times \left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \nabla \times \mathbf{E}\right) = \nabla \left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \nabla \cdot \mathbf{E}\right) - \nabla^2 \mathbf{E} = -\nabla^2 \mathbf{E} ] [ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = \nabla^2 \mathbf{E} ] 其中 (c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}) 是光速。同样的方法可以得到电场 (\mathbf{E}) 的波动方程