svd分解的基本原理是什么？它在pca计算中的应用如何？

发布于 2023-11-23 16:21:58

SVD（奇异值分解）是一种常用的线性代数技术，可以将任意一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中A是一个m×n的矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的矩形对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵。在SVD中，U和V是称为左奇异向量和右奇异向量的正交矩阵，Σ是奇异值的对角矩阵。

SVD在PCA（主成分分析）计算中有重要应用。PCA是一种常用的降维技术，它通过寻找数据集的主成分来减少数据的维度。具体而言，PCA使用SVD来计算数据的协方差矩阵的特征向量和特征值。将数据进行SVD分解后，我们可以获得数据的主成分，并根据主成分的重要性选择保留的成分数量，从而实现数据的降维。

在PCA计算中，我们首先将数据进行标准化，使得每个特征的均值为0，然后计算数据的协方差矩阵。接下来，我们对协方差矩阵进行SVD分解，得到矩阵U、Σ和V^T。然后，我们根据数据的方差解释率来选择保留的主成分数量，通常根据累计方差贡献率超过某个阈值进行选择。最后，我们将原始数据投影到选定的主成分上，即可实现数据的降维。通过降维，我们可以减少数据集的维度并且保留较多的信息量，便于后续的分析和可视化处理。