求y=x³-3x²的单调区间和极值

函数 ( y = x^3 - 3x^2 ) 是一个三次多项式函数。要找到它的单调区间和极值，我们首先需要求出其一阶导数。

[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x ]

接下来，我们需要找到一阶导数等于零的点，这些点可能是极值点。

设 ( y' = 0 )： [ 3x^2 - 6x = 0 ] [ x(x - 2) = 0 ]

这给出了两个可能的极值点：( x = 0 ) 和 ( x = 2 )。

为了确定这两个点是极大值还是极小值，我们需要考虑二阶导数：

[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 3x^2) = 6x - 6 ]

将 ( x = 0 ) 和 ( x = 2 ) 代入二阶导数中：

• ( y''(0) = 6(0) - 6 = -6 )，因为二阶导数小于零，所以 ( x = 0 ) 是一个极大值点。
• ( y''(2) = 6(2) - 6 = 6 )，因为二阶导数大于零，所以 ( x = 2 ) 是一个极小值点。

现在我们知道了极值点，接下来我们需要确定函数的单调区间。由于一阶导数 ( y' ) 是一个二次函数，它在 ( x < 0 ) 时为正，在 ( 0 < x < 2 ) 时为负，在 ( x > 2 ) 时再次为正。这意味着：

• 当 ( x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) ) 时，( y ) 是单调增的。
• 当 ( x \in (0, 2) ) 时，( y ) 是单调减的。

总结一下：

• 函数 ( y = x^3 - 3x^2 ) 在 ( x = 0 ) 处达到极大值，值为 ( y(0) = -0 )。
• 函数 ( y = x^3 - 3x^2 ) 在 ( x = 2 ) 处达到极小值，值为 ( y(2) = -4 )。
• 函数的单调增区间是 ( (-\infty, 0) ) 和 ( (2, +\infty) )。
• 函数的单调减区间是 ( (0, 2) )。