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若D(X+Y)=D(X)+D(Y)，则随机变量X和Y独立 A 对 B 错
发布于 2024-06-06 20:22:02
A 对
如果随机变量X和Y满足方差相加的性质，即D(X+Y) = D(X) + D(Y)，那么X和Y一定是独立的。这是因为方差相加是随机变量独立性的一个充分条件。这种属性来自于方差的计算公式：
[ D(X + Y) = E[(X + Y)^2] - [E(X + Y)]^2 ]
如果X和Y独立，那么：
[ D(X + Y) = E[X^2] + 2E[XY] + E[Y^2] - (E[X] + E[Y])^2 ] [ D(X) = E[X^2] - (E[X])^2 ] [ D(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 ]
因为X和Y独立，所以E[XY] = E[X]E[Y]。代入上面的等式得到：
[ D(X + Y) = (E[X^2] - (E[X])^2) + (E[Y^2] - (E[Y])^2) + 2E[X]E[Y] - (E[X] + E[Y])^2 ] [ D(X + Y) = D(X) + D(Y) ]
这表明如果D(X+Y)等于D(X)加D(Y)，那么X和Y的乘积项E[XY]必须等于E[X]E[Y]，这正是它们独立性的定义。所以，答案是对的。
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