椭圆上点到焦点取值范围

椭圆的标准方程为(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a\gt b\gt0)），(c^2=a^2-b^2)，其中(c)是椭圆的焦距。

设椭圆上的点为(P(x,y))，(PF_1=d_1)，(PF_2=d_2)，(F_1)，(F_2)分别为椭圆的左、右焦点，根据椭圆的定义可得：

(d_1+d_2=2a)

所以(d_1=2a-d_2)。

根据两点间的距离公式(\vert AB\vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2})，可得：

[ \begin{align} d_1&=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\ d_2&=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{align} ]

将(d_1)和(d_2)代入(d_1+d_2=2a)中，可得：

[ \begin{align} \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}&=2a\ \sqrt{(x+c)^2+y^2}&=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{align} ]

两边平方可得：

[ \begin{align} (x+c)^2+y^2&=(2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2})^2\ x^2+2cx+c^2+y^2&=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\ x^2+2cx+c^2+y^2&=4a^2-4a\sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2\ 4a\sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}&=4a^2-2cx-2cx\ \sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}&=a-x-c \end{align} ]

两边平方可得：

[ \begin{align} x^2-2cx+c^2+y^2&=(a-x-c)^2\ x^2-2cx+c^2+y^2&=a^2-2ax-c^2+x^2-2cx+c^2+y^2\ 2cx+2cx&=a^2-2ax\ 4cx&=a^2-2ax\ cx&=\frac{a^2-2ax}{4}\ cx&=\frac{a(a-2x)}{4}\ x&=\frac{a(a-2x)}{4c} \end{align} ]

将(x=\frac{a(a-2x)}{4c})移项可得：

[ \begin{align} x+\frac{a(a-2x)}{4c}&=0\ \frac{4cx+a(a-2x)}{4c}&=0\ 4cx+a(a-2x)&=0\ 4cx+a^2-2ax&=0\ (4c-2a)x&=-a^2\ x&=-\frac{a^2}{4c-2a}\ x&=-\frac{a^2}{2(2c-a)}\ x&=-\frac{a}{2(2c/a-1)}\ \end{align} ]

因为(a\gt0)，(b\gt0)，所以(a\gt b\gt0)，则(\frac{a}{b}\gt1)，(2c/a\gt2)，(2c/a-1\gt1)。

根据反比例函数(y=\frac{k}{x})（(k)为常数，(k\neq0)，(x\neq0)）的性质，当(k\gt0)时，图象分别位于第一、三象限，当(k\lt0)时，图象分别位于第二、四象限。

所以(x=-\frac{a}{2(2c/a-1)})的值为负数。

因此，椭圆上点到焦点取值范围为(-c\lt x\lt c)。