设G是p^n阶群，其中p是素数，证明：G有p阶元素

我们可以利用Cauchy定理来证明这个结论，即如果p是一个素数，G是一个p阶幂次的有限群，则G中存在一个阶为p的元素。

由于G是一个p^n阶群，因此G的任意子群H的阶都是p的幂次。我们考虑G的Cauchy类，即大小为p的子集的集合，记作C。

对于G的任意元素g，考虑它的Cauchy类[g]，即由g的所有p阶幂次组成的集合。显然，[g]的大小是1、p、p^2、……、p^{m-1}（其中m是满足p^m≤n且p^{m+1}>n的正整数）。我们要证明的是，[g]中至少存在一个元素。

为了证明这一点，我们可以考虑将C划分成若干个大小为p^{m-1}的子集。具体地，对于C中的每个元素x，我们可以将它和p^{m-1}个元素xg、xg^2、……、xg^{p^{m-1}-1}分别配对，得到p^{m-1}个大小为2的子集。注意到这样的配对方式是合法的，因为如果xg^i=xg^j（其中0≤i<j<p^{m-1}），那么我们就可以将它们相乘得到xg^{j-i}，这是xg的一个p阶幂次，因此xg^{j-i}=xg^k（其中0≤k<p^{m-1}），所以xg^{j-i-k}=x，这意味着xg^{j-i-k}也在[g]中。

因此，我们得到了一个大小为p^{m-1}的子集族，它们的交集非空，否则它们的并集的大小就超过了G的大小p^n。因此，存在一个大小为p^{m-1}的子集X，它包含于某个Cauchy类[g]中。由于|X|=p^{m-1}，而G的阶是p^n，因此X中至少存在一个元素y，满足y≠1。又因为y∈X⊆[g]，所以y是g的一个p阶幂次，也就是说，y是一个阶为p的元素。

因此，G中存在一个阶为p的元素，证毕。