贝叶斯分类器原理公式推演

贝叶斯分类器是一种统计分类方法，它基于贝叶斯定理来进行决策。贝叶斯定理描述了在已知一些条件下，某个特定事件的概率。在分类问题中，我们的目标是找到一个新的样本点属于各个类别的概率，并据此进行分类。

假设有两类（或者多个类别）需要区分，类别分别标记为 ( C_1, C_2, ..., C_n )，一个新样本特征向量是 ( X )。

贝叶斯定理可以用来计算给定类别 ( C_i ) 的条件下，样本 ( X ) 的概率 ( P(X|C_i) )，即：

[ P(C_i | X) = \frac{P(X | C_i) P(C_i)}{P(X)} ]

其中：

• ( P(C_i) ) 是先验概率，即在没有任何条件下类别 ( C_i ) 的概率。
• ( P(X | C_i) ) 是似然，即给定类别 ( C_i ) 时，观测到 ( X ) 的概率。
• ( P(X) ) 是样本 ( X ) 发生的概率。

在实际应用中，我们通常不知道 ( P(X) )，但它在所有 ( P(C_i | X) ) 的比值中可以被约去，因此可以直接计算：

[ P(C_i | X) \propto P(X | C_i) P(C_i) ]

此处 ( \propto ) 表示比例关系，即两边同除以 ( P(X) )。

如果我们要对一个给定的样本 ( X ) 进行分类，我们选择使 ( P(C_i | X) ) 最大的类别 ( C_i )：

[ C = \arg\max P(C_i | X) = \arg\max [ P(X | C_i) P(C_i)] ]

对于多特征的情况，( P(X | C_i) ) 常常会假设特征是条件独立的，即对于连续特征或高维的数据，可以通过“朴素”的方法来简化计算：

[ P(X | C_i) = P(x_1, x_2, ..., x_n | Ci) \approx \prod{j=1}^{n} P(x_j | C_i) ]

在这个朴素假设下，给定类别，每个特征的条件概率是独立的，这大大简化了计算。

注意：贝叶斯分类器的性能取决于先验概率的准确性、似然函数的选择和计算，以及假设条件的合理性。在实际应用中，这些因素都需要仔细考虑。

贝叶斯分类器在许多应用中都表现出了良好的性能，特别是在文本分类、垃圾邮件过滤、自然语言处理和推荐系统等领域。