假设随机变量X服从正态分布，均值为0，方差等于1，令Y=X^2-1，请证明X与Y线性无关。

要证明随机变量 ( X ) 与 ( Y = X^2 - 1 ) 线性无关，我们可以通过以下步骤进行：

步骤 1: 定义线性相关性

如果存在非零常数 ( a ) 和 ( b ) 使得： [ P(aX + bY = 0) = 1 ] 则称 ( X ) 和 ( Y ) 线性相关。

步骤 2: 表达线性关系

假设 ( X ) 与 ( Y ) 线性相关，则存在常数 ( a ) 和 ( b ) 使得： [ aX + b(X^2 - 1) = 0 ] 简化上式得： [ (bX^2 - a)X - b = 0 ]

步骤 3: 分析方程

上述方程要对所有 ( X ) 成立，意味着： [ bX^2 - a = 0 \quad \text{和} \quad -b = 0 ]

从 ( -b = 0 ) 可得 ( b = 0 )。

步骤 4: 分析 ( b = 0 ) 的情况

如果 ( b = 0 )，则方程简化为： [ aX = 0 ] 这意味着 ( X = 0 ) 必须对所有 ( X ) 成立，这是不可能的，因为 ( X ) 是一个随机变量，其取值并非总是0。

步骤 5: 得出结论

由于不存在这样的非零常数 ( a ) 和 ( b ) 使得 ( aX + b(X^2 - 1) = 0 ) 对所有 ( X ) 成立，因此 ( X ) 和 ( Y = X^2 - 1 ) 线性无关。

另一种证明方法：协方差分析

我们也可以利用协方差的定义来证明 ( X ) 和 ( Y ) 线性无关。

步骤 1: 定义协方差

协方差 ( \operatorname{Cov}(X, Y) ) 定义为： [ \operatorname{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] ] 其中 ( \mu_X = E[X] = 0 ) 和 ( \mu_Y = E[Y] = E[X^2 - 1] )。

步骤 2: 计算 ( E[Y] )

由于 ( X ) 服从均值为0，方差为1的正态分布： [ E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = 1 + 0^2 = 1 ] [ E[Y] = E[X^2 - 1] = 1 - 1 = 0 ]

步骤 3: 计算协方差

[ \operatorname{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] ] [ E[XY] = E[X^3 - X] ] 由于 ( E[X] = 0 )： [ E[XY] = E[X^3] - E[X] = E[X^3] ] 对于标准正态分布 ( X )： [ E[X^3] = 0 ] 因此： [ E[XY] = 0 ] [ \operatorname{Cov}(X, Y) = 0 - 0 = 0 ]

步骤 4: 得出结论

由于 ( \operatorname{Cov}(X, Y) = 0 )，即 ( X ) 和 ( Y ) 的协方差为0，表明它们是线性无关的。

综上所述，无论是通过代数方法还是通过协方差分析，我们都证明了 ( X ) 和 ( Y = X^2 - 1 ) 是线性无关的。