1-e的xt次方/1+e的xt次方等于e的-xt次方-1/1+e的-xt次方是为什么

要证明这个等式：

[ \frac{1-e^{xt}}{1+e^{xt}} = \frac{e^{-xt}-1}{1+e^{-xt}} ]

我们首先来理解一下等式两边的结构。这是一个包含指数函数的分数等式。我们知道指数函数有以下性质：

[ e^{-a} = \frac{1}{e^a} ]

利用这个性质，我们可以对等式右边进行简化，使其形式与左边相匹配。

证明：

左边： [ \frac{1-e^{xt}}{1+e^{xt}} ]

右边： [ \frac{e^{-xt}-1}{1+e^{-xt}} ]

由于 ( e^{-a} = \frac{1}{e^a} )，我们可以将右边的 ( e^{-xt} ) 改写为 ( \frac{1}{e^{xt}} )：

[ \frac{\frac{1}{e^{xt}}-1}{1+\frac{1}{e^{xt}}} ]

将分母和分子都乘以 ( e^{xt} ) 以消除分母中的分数：

[ \frac{e^{xt}(\frac{1}{e^{xt}}-1)}{e^{xt}(1+\frac{1}{e^{xt}})} ] [ \frac{1-e^{xt}}{e^{xt} + (1)} ]

现在右边可以进一步简化为：

[ \frac{1-e^{xt}}{e^{xt} + 1} ]

这正是左边的形式：

[ \frac{1-e^{xt}}{1+e^{xt}} ]

因此，我们证明了原始等式是成立的。

这个证明过程展示了指数函数的一个重要性质，并且通过代数操作验证了等式的正确性。在数学中，证明等式或不等式时，经常会用到一些基本的数学规则和属性，如指数的幂规则、分数的基本性质等。在这个例子中，我们利用了指数函数的逆运算性质来简化等式，从而证明了等式成立。