三角函数转化公式大全

三角函数是数学中的一个重要分支，它主要涉及角度与直角三角形边之间的关系。以下是一些基本的三角函数以及它们的转化公式：

1. 正弦函数（sine, sin）

   • ( \sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} )

2. 余弦函数（cosine, cos）

   • ( \cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} )

3. 正切函数（tangent, tan）

   • ( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} )

4. 余切函数（cotangent, cot）

   • ( \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} )

5. 正割函数（secant, sec）

   • ( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} )

6. 余割函数（cosecant, csc）

   • ( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} )

三角恒等式：

• 毕达哥拉斯恒等式： [ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 ]

• 正弦或余弦的性质： [ 1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) ] [ 1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) ]

• 和角公式： [ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) ] [ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) ] [ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} ]

• 差角公式： [ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) ] [ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) ] [ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)} ]

• 倍角公式： [ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) ] [ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta) ] [ \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} ]

• 半角公式： [ \sin(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}} ] [ \cos(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}} ] [ \tan(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)}} = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)} ]

• 和差化积： [ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) ] [ \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right