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一个循环群一定是交换群.
发布于 2025-02-18 21:07:41
正确。循环群指可以由其中的一个元素生成的群，例如群 (G) 中存在一个元素 (g \in G)，使得 (G) 中的每个元素都可以表示为 (g) 的整数次幂。
在循环群中，如果任意两个元素 (a) 和 (b) 都能写成生成元 (g) 的幂的形式：(a = g^m) 和 (b = g^n)（其中 (m)、(n) 是整数），那么它们的乘积也可以表示为： [ ab = g^m \cdot g^n = g^{m+n} ] 以及它们的逆序乘积： [ ba = g^n \cdot g^m = g^{n+m} ]
因为指数加法满足交换律，即 ( m + n = n + m )，所以 ( g^{m+n} = g^{n+m} )，这就意味着 ( ab = ba )。 这意味着循环群中的任意两个元素的乘积都是可交换的，因此一个循环群一定是一个交换群（或称阿贝尔群）。
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