已知x＞0，y＞0，x＋3y＝x^2+y^3，求2/x+3/y的最小值

首先，我们解方程 ( x + 3y = x^2 + y^3 )。

将方程重新排列得到: [ y^3 - 3y + x - x^2 = 0 ]

由于这是一个关于两个变量的三条式等式，直接求解可能较困难。不过，我们可以利用替换的方式简化问题，考虑使用拉格朗日乘数法或通过代数变换求解更直接地找到 ( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} ) 的最小值。

先试着解出 y（或 x）来简化问题：

将 ( y^3 - 3y = x^2 - x ) 看作是 y 的函数求导数，让导数等于 0 可以找到极值点： [ \frac{d}{dy}(y^3 - 3y) = 3y^2 - 3 ] [ 3y^2 - 3 = 0 ] [ y^2 = 1 ] [ y = \pm 1 ]（由于 y > 0，所以 y = 1）

但这个结果可能并非解的有效范围，因为我们需要考虑等式左边的 y^3 和右边的 x^2 的相对大小关系，以及与原方程中的 x，y 约束如何结合。

考虑到 ( x + 3y = x^2 + y^3 )，我们可以逆过来使用 AM-GM 不等式，即算术平均值大于等于几何平均值不等式： [ \frac {x + 3y}{2} \geq \sqrt {x * 3y} ]

给定 ( x + 3y = x^2 + y^3 )，替换上不等式得： [ \frac {x^2 + y^3}{2} \geq \sqrt {3xy} ]

整理一下： [ (x^2 + y^3)^2 \geq 12x^2y^3 ]

考虑 ( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} ) 的最小值，可以将目表达式相乘并应用AM-GM不等式： [ \left(\frac{2}{x}\right) + \left(\frac{3}{y}\right) \geq 2 \sqrt{\frac{6}{xy}} ]

从上面的不等式出发和已知的 ( x + 3y = x^2 + y^3 ) 关系，推导出 ( x ) 和 ( y ) 的可能值，然后设定这些值以求取 ( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} ) 的最小值。

由于我们还没有直接得到 ( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} ) 的表达式，我们可以尝试猜测或推理一种 ( x ) 和 ( y ) 的值配置，当然这可能需要一些试错和调整。涉及的具体证明题中的问题可能有很多种方法能够处理，其中一种有效的方法是用 substitution 或者边定向的技术使得原始难题转化为低维问题处理，再应用AM-GM不等式或者其它优化方法寻求解。

为了解此题，转移到尝试直接观察可能有解的值：

• 如果 ( x = 1 ), ( y = 1 ), 那么原方程不成立，
• 如果 ( x = 3 ), ( y = 1 )，则 ( 3 + 3 = 9 + 1 ) 也不成立。

实际上，对于最小值问题的求解可以使用微积分的方法引入辅助函数进行求解，导数等于零的点，就是潜在的极值点。一种最简单的方式是将 ( y ) 看作 ( x ) 的函数消除变量，然后计算 ( f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} ) 的导数并找到潜在的极值点。

具体应用中可能涉及到复杂的代数操作和计算。一个切入口通常是先通过观察或假设 ( x )和( y )的一些特定值进行检查是否能符合原方程，然后在此基础上进一步求导求解最值。由于单纯的文字解答难以直观表达此过程中的全部细节，实际解题时应该配合草稿纸进行一系列的代数演练。如果无法求解，可能需要重新审视原方程和应用AM-GM的策略，寻找更合适的解题方案。