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证明2-连通图的任意两边共圈
发布于 2023-12-11 10:22:50
对于一个2-连通图，我们可以用归纳法来证明任意两边共圈。
首先，当图中只有两个顶点时，它们之间只有一条边，显然这两边是共圈的。
假设对于具有n个顶点的2-连通图，任意两边都是共圈的。现在考虑一个具有n+1个顶点的2-连通图G。
我们可以选择图G中的一个任意顶点v，并沿着一条边e将图G分成两个部分，其中一个部分包含了顶点v，另一个部分不包含顶点v。由于图G是2-连通的，所以必然存在一条边f，连接顶点v所在的部分和不包含顶点v的部分。
现在考虑边e和边f，如果它们是同一边，那么它们显然是共圈的。否则，我们可以通过在边e和边f之间添加一条路径来构造一条新的圈，这条路径连接了顶点v所在的部分和不包含顶点v的部分。因为我们假设了具有n个顶点的2-连通图中的任意两边都是共圈的，所以这条新构造的圈也是共圈的。
综上所述，对于任意具有n+1个顶点的2-连通图，任意两边都是共圈的。
因此，我们证明了2-连通图的任意两边都是共圈的。
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