e的xy次密怎么求导

求函数 ( e^{xy} ) 的导数，我们同样可以使用链式法则。这里的外函数是 ( f(u) = e^u )，而内函数是 ( u = xy )。

外函数 ( f(u) = e^u ) 的导数是其自身，即 ( f'(u) = e^u )。

内函数 ( u = xy ) 对 ( x ) 的导数是 ( \frac{du}{dx} = y )，因为 ( u ) 与 ( x ) 的关系是线性的，而对 ( y ) 的偏导数是 ( \frac{\partial u}{\partial y} = x )。

根据链式法则，( e^{xy} ) 对 ( x ) 的导数是：

[ \frac{d}{dx} e^{xy} = e^{xy} \cdot \frac{du}{dx} = e^{xy} \cdot y ]

同样地，( e^{xy} ) 对 ( y ) 的偏导数是：

[ \frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = e^{xy} \cdot x ]

所以在 ( xy ) 为中间变量 ( u ) 的情况下，我们可以得出 ( e^{xy} ) 的导数是 ( ye^{xy} ) 相对于 ( x )，以及 ( xe^{xy} ) 相对于 ( y )。这也可以写作向量形式，表示对所有变量的偏导数：

[ \nabla (e^{xy}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} e^{xy} \ \frac{\partial}{\partial y} e^{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{xy}y \ e^{xy}x \end{bmatrix} ]