sin（x+y）的导数怎么求

求函数 ( \sin(x + y) ) 的导数，我们可以使用链式法则。首先，将 ( x + y ) 看作是中间变量 ( u )，即设 ( u = x + y )。然后，我们可以将 ( \sin(x + y) ) 看作是外函数 ( f(u) = \sin(u) ) 与内函数 ( u = g(x, y) = x + y ) 的复合。

外函数 ( f(u) = \sin(u) ) 的导数是 ( f'(u) = \cos(u) )。

内函数 ( u = x + y ) 的导数，相对于 ( x ) 是 ( \frac{\partial u}{\partial x} = 1 )（因为 ( u ) 对 ( x ) 的偏导数与 ( y ) 无关），相对于 ( y ) 是 ( \frac{\partial u}{\partial y} = 1 )。

应用链式法则，我们得到：

[ \frac{d}{dx} \sin(x + y) = \cos(x + y) \cdot \frac{du}{dx} ]

因为 ( \frac{du}{dx} = 1 )，所以：

[ \frac{d}{dx} \sin(x + y) = \cos(x + y) ]

这表示，( \sin(x + y) ) 对 ( x ) 的导数是 ( \cos(x + y) )。如果你也需要对 ( y ) 的偏导数，你可以类似地得到：

[ \frac{\partial}{\partial y} \sin(x + y) = \cos(x + y) ]

这是因为 ( \frac{\partial u}{\partial y} = 1 ) 也是成立的。所以，无论是对 ( x ) 求导还是对 ( y ) 求偏导，结果都是 ( \cos(x + y) )。这种情况在函数 ( f(g(x, y)) ) 中很常见，其中 ( g(x, y) ) 与 ( x ) 和 ( y ) 线性相关，并且 ( f(u) ) 是 ( u ) 的一个可微函数。