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已知非零向量a,b满足︱a+b︳=|a-2b︱,且b在a上的投影等于2/3a,则︱a︱/︱b︱=
发布于 2024-06-08 15:45:04
向量a和b在数学中通常用来表示力或方向。投影的概念就是把一个向量投影到另一个向量上，得到一个长度和方向都变化的新的向量，通常用某个系数乘以被投影的向量来表示这个新的向量。
根据题目条件：
- (|a+b|=|a-2b|)
- 向量b在向量a上的投影等于(2/3)倍的向量a。
首先，我们来看第二个条件。向量b在向量a上的投影可以用以下公式计算： [ \text{Proj}_a(b) = \frac{b \cdot a}{|a|^2} \cdot a ]
题目告诉我们这个投影是(2/3)倍的向量a，所以我们有： [ \frac{b \cdot a}{|a|^2} \cdot a = \frac{2}{3}a ]
这意味着： [ b \cdot a = \frac{2}{3}|a|^2 ]
接下来，我们利用第一个条件。由于(|a+b|=|a-2b|)，我们可以平方两边来消去根号（因为向量的模总是非负的）： [ (a+b) \cdot (a+b) = (a-2b) \cdot (a-2b) ]
展开两边我们得到： [ a \cdot a + 2b \cdot a + b \cdot b = a \cdot a - 4b \cdot a + 4b \cdot b ]
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