用行列式的展开的方法计算该行列式 ｜1 0 1 -1｜ ｜1 2 4 5｜ ｜0 0 1 1｜ ｜1 0 1 1｜

好的，我们使用行列式的展开方法来计算这个4x4行列式。我们选择对第一行进行展开：

[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \ 1 & 2 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} ]

对第一行展开，得到：

[ \text{行列式} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}

• 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

• 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}

• (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} ]

接下来计算每个3x3的行列式。

1. 计算第一个3x3行列式：

[ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix}

• 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 4 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 5 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0 ]

2. 第二个3x3行列式被0乘以，所以它直接为0。

3. 计算第三个3x3行列式：

[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix}

• 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 5 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 0 - 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = 0 + 2 = 2 ]

4. 计算第四个3x3行列式：

[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix}

• 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 4 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 0 - 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 = 0 + 2 = 2 ]

综合以上结果：

[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \ 1 & 2 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (任意值) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 0 + 0 + 2 + 2 = 4 ]

所以这个行列式的值是 4。