计算该行列式 ｜1 0 1 -1｜ ｜1 2 4 5｜ ｜0 0 1 1｜ ｜1 0 1 1｜

计算一个4x4行列式可以使用行列式的展开公式或者拉普拉斯展开法。我们先来一步步计算这个行列式：

[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \ 1 & 2 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} ]

首先对第一行进行拉普拉斯展开：

[ \text{行列式} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}

• 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}

• (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}

• (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} ]

接下来计算每个3x3的行列式。

[ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix}

• 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 2 \cdot 0 = 0 ]

[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix}

• 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 5 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 0 + 2 = 2 ]

[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix}

• 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 2 = 2 ]

[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix}

• 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 2 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 4 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 0 + 2 - 4 = -2 ]

综合以上结果：

[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \ 1 & 2 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 0 - 2 - 2 - 2 = -6 ]

所以这个行列式的值是 -6。