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设 x →0时 a +eˣ²cosbx+ c (√1+x³) In (1+ x )=0( x⁴ )，求常数 a , b , c 的值．
发布于 2023-10-10 20:51:35
根据所给的方程，我们可以对其进行泰勒展开并忽略高阶无穷小，得到：
a + e^x^2 cos(bx) + c (√(1 + x^3)) ln(1 + x) ≈ a + c x^(3/2) * ln(1 + x)
根据方程左边的求和结果为0，我们可知 a = 0。
代入原方程，得到
e^x^2 cos(bx) + c (√(1 + x^3)) * ln(1 + x) = 0
当 x → 0 时，ln(1 + x) 可以近似视为 x，得到
e^x^2 * cos(bx) + cx^(3/2) = 0
对上述方程求导，得到
2xe^x^2 cos(bx) - b e^x^2 * sin(bx) + (3/2)cx^(1/2) = 0
当 x → 0 时，我们可以忽略除x以外的项，得到
2e^0 cos(0) - b e^0 * sin(0) + (3/2)c = 0
化简得到
2 - b = 0
因此，b = 2。
再次代入原方程，得到
e^x^2 * cos(2x) + cx^(3/2) = 0
将 x = 0 代入方程，得到
e^0 cos(0) + c 0 = 0
化简得到
c = 0
综上所述，a = 0，b = 2，c = 0。
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