为什么费马点中，三个等边三角形三个顶点与原三角形三个顶点分别连接，恰好就是费马点，而不是别的点

费马点是三角形中一个特殊的位置，它满足从这个点到三角形三个顶点的距离之和最短。这个问题被称为“费马点问题”，是由法国数学家皮埃尔·德·费马在1636年提出的。

费马点的存在性和位置可以通过以下方式理解：

1. 局部最优：首先证明在三角形的每条边上，都有一个点使得该点到三角形两个顶点的距离之和最短。这个点显然是三角形顶点的内角平分线上的一个点。

2. 全局最优：然后，通过比较三角形内部、边界上以及外部的局部最优点，可以证明真正的费马点位于三角形内部。

3. 等边三角形连接：当原三角形是等边三角形时，费马点恰好是三角形内心、外心、重心的交点，也就是所谓的“费马焦点”。这是因为在等边三角形中，这些中心重合于一点。

4. 构造法：在等边三角形中，可以构造三个等边三角形，它们的每个顶点都与原三角形的一个顶点相连。由于原三角形是等边的，这三个新三角形也是等边的，它们的中心（即费马点）将位于原三角形的中心，因为它们的大小和形状完全相同。

5. 数学证明：数学上可以通过证明费马点到三角形三个顶点的距离之和是一个定值，而这个距离在构造的三个等边三角形的顶点上达到最小，从而证明这一点。

费马点的存在性和位置是几何学中的一个经典问题，它涉及到了几何和最优化的多个方面。在数学上，这个问题可以通过多种方法来解决，包括几何构造、解析几何和变分法等。费马点的概念在数学竞赛和几何学的教学中经常出现，它展示了几何学中的美感和深刻性。