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计算对数正态分布的概率: 如果LN(X)~N(0,(0.1)2) 那么P(X<0.9)的概率?

发布于 2024-09-19 10:26:08

给定一个对数正态分布,其变量 ( X ) 的自然对数 ( \ln(X) ) 遵循一个正态分布 ( N(0, (0.1)^2) )。要计算 ( P(X < 0.9) ),我们可以使用以下步骤:

  1. 标准化 ( \ln(X) ): 先求出 ( \ln(0.9) ) 的值,然后转化为标准正态分布的Z值。

    ( \ln(0.9) \approx -0.1053605 )

    Z值计算公式为: [ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} ] 其中 ( \mu = 0 )(因为 ( \ln(X) ) 的均值是0),( \sigma = 0.1 )(方差的平方根是0.1)。

    [ Z = \frac{\ln(0.9) - 0}{0.1} ] [ Z = -10.53605 ]

  2. 使用标准正态分布表或计算器: 查找或计算 ( Z = -10.53605 ) 在标准正态分布下的概率。

标准正态分布表或函数会给出左侧的累积概率。由于 ( Z = -10.53605 ) 非常小,它基本接近于0(左尾概率非常接近于1)。这意味着 ( P(\ln(X) < \ln(0.9)) ) 非常接近1。

因此,( P(X < 0.9) ) 也接近于1。实际上,因为 ( \ln(0.9) ) 很小,你可以预期 ( X < 0.9 ) 的概率非常高。

如果需要更精确地计算这个概率数值,可以使用统计软件或科学计算器来处理这种极端的Z值。不过,根据直觉和常见的处理方式,可以认为 ( P(X < 0.9) ) 的概率几乎是100%。

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