求出循环群Z的所有生成元和所有子群.

循环群 ( \mathbb{Z} ) 是一个无限群，具体来说，它是一个无限阿贝尔群，通常被认为是整数的加法群。

生成元

在无限循环群 ( \mathbb{Z} ) 中，任何非零整数都可以作为生成元。这是因为通过这个整数的整数倍可以得到任何其他整数。

生成元：

• 任何非零整数 ( a ) 都可以作为 ( \mathbb{Z} ) 的生成元。

子群

由于 ( \mathbb{Z} ) 是一个无限群，它的子群也是无限多的。

子群：

• 平凡子群：( {0} )，只包含群的单位元。
• 无限循环子群：对于任意整数 ( n )，由 ( n ) 的整数倍生成的子群是一个无限循环子群。记作 ( n\mathbb{Z} ) ，包括所有形式为 ( kn ) 的整数，其中 ( k ) 是任意整数。

更具体地：

• ( n\mathbb{Z} ) 表示所有 ( n ) 的整数倍，即 ( {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} )。

例子

例如：

• 当 ( n = 1 ) 时，( n\mathbb{Z} = \mathbb{Z} )，即整个 ( \mathbb{Z} ) 群本身。
• 当 ( n = 2 ) 时，( 2\mathbb{Z} ) 就是所有偶数，即 ( {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} )。

总结

• 每个非零整数：都是 ( \mathbb{Z} ) 的一个生成元。
• 每个整数倍 ( n )：都定义了 ( \mathbb{Z} ) 的