确定U(8)和U(9) 是否是循环群，不是的话，说明理由；是的 话求出所有生成元和所有子群.

在数论和代数学中，( U(n) ) 通常指模 ( n ) 的乘法群，即所有与 ( n ) 互质的整数在模 ( n ) 下的乘法下的群。我们来分别看一下 ( U(8) ) 和 ( U(9) )。

( U(8) )

定义：( U(8) ) 是模 8 下与 8 互质的整数的集合，即 ( {1, 3, 5, 7} )。

是否是循环群：不是。

理由：

1. 循环群：一个群是循环的，如果存在某个元素 ( g ) ，使得通过 ( g ) 的幂可以得到群内的所有元素。
2. 对于 ( U(8) )，尝试任何元素都不可能生成整个集合：
   • 如果选择 ( 1 )，那么 ( 1^k \equiv 1 \pmod{8} ) 对所有 ( k ) 成立，所以只生成 ( 1 )。
   • 如果选择 ( 3 )，那么 ( 3^2 \equiv 1 \pmod{8} )，因此只能生成 ( 1 ) 和 ( 3 )。
   • 如果选择 ( 5 )，那么 ( 5^2 \equiv 1 \pmod{8} )，同样只能生成 ( 1 ) 和 ( 5 )。
   • 如果选择 ( 7 )，那么 ( 7^2 \equiv 1 \pmod{8} )，情况与 ( 3 ) 和 ( 5 ) 相同。

子群：

• 显然的子群有 ( {1} )（平凡子群）和 ( U(8) ) 本身。

( U(9) )

定义：( U(9) ) 是模 9 下与 9 互质的整数的集合，即 ( {1, 2, 4, 5, 7, 8} )。

是否是循环群：是。

理由：

1. 循环群：如果群可以由单个元素生成，则该群是循环的。
2. 对于 ( U(9) )，元素 ( 2 ) 可以生成整个 ( U(9) )：
   • ( 2^1 \equiv 2 \pmod{9} )
   • ( 2^2 \equiv 4 \pmod{9} )
   • ( 2^3 \equiv 8 \pmod{9} )
   • ( 2^4 \equiv 7 \pmod{9} )
   • ( 2^5 \equiv 5 \pmod{9} )
   • ( 2^6 \equiv 1 \pmod{9} )

生成元：生成元是 ( 2 )。

子群：

• 子群包括：
  • ( {1} )（平凡子群）
  • ( {1, 2, 4, 8} )（由 ( 2 ) 生成的阶为 6 的子群）
  • ( {1, 5} )（由 ( 5 ) 生成的阶为 6 的子群）

这些子群包含了 ( U(9) ) 的所有可能子群，因为 ( U(9) ) 是一个有