求出循环群Z*7的所有生成元和所有子群

循环群 ( \mathbb{Z}_7^ ) 是模 7 下的乘法群，它包括所有与 7 互质的整数。由于 7 是一个素数，所以任何小于 7 且不等于 0 的整数都与 7 互质。因此，( \mathbb{Z}_7^ ) 包含元素 ( {1, 2, 3, 4, 5, 6} )。

所有生成元

要确定一个元素是否是 ( \mathbb{Z}_7^ ) 的生成元，我们需要找出它的阶是否等于群的阶，即 6。群 ( \mathbb{Z}_7^ ) 的阶为 6，因为它有 6 个元素。

所有生成元：

• 1：( 1 ) 的阶为 1，不是生成元。
• 2：( 2^6 \equiv 1 \pmod{7} )
• 3：( 3^6 \equiv 1 \pmod{7} )
• 4：( 4 = 2^2 )，( 2^6 \equiv 1 \pmod{7} )
• 5：( 5^6 \equiv 1 \pmod{7} )
• 6：( 6 = -1 )，( (-1)^6 \equiv 1 \pmod{7} )

生成元：

• 2, 3, 5 是 ( \mathbb{Z}_7^* ) 的生成元，因为它们的阶为 6。

子群

对于有限群 ( \mathbb{Z}_7^* )，所有可能的子群由下述元素组成：

• 平凡子群：( {1} )（只包含单位元）
• 整个群：( {1, 2, 3, 4, 5, 6} )
• 阶为 2 的子群：({1, 4})（由 ( 2^2 \equiv 1 \p