错了，试一试公比为分数

好的，让我们重新审视问题并尝试找到解，其中公比 ( r ) 是一个分数。

已知条件：

1. ( a, b, c ) 成等差数列。
2. ( b, c, d ) 成等比数列。
3. ( d - a = 48 )。

根据条件，我们有：

• ( b = a + x )，其中 ( x ) 是等差数列的公差。
• ( c = a + 2x )。
• ( d = cr )，其中 ( r ) 是等比数列的公比。

我们还知道：

• ( d = a + 48 )。

由于 ( b, c, d ) 成等比数列，我们有： [ c^2 = bd ] [ (a + 2x)^2 = (a + x)(a + 48) ]

展开两边： [ a^2 + 4ax + 4x^2 = a^2 + (48 + x)a + 48x ]

简化得到： [ 4ax + 4x^2 = 48a + 48x + xa ]

整理项： [ 3ax + 4x^2 = 48a + 48x ]

提取 ( x )： [ x(3a + 4x - 48) = 48a ]

由于 ( a ) 和 ( x ) 是整数，( 3a + 4x - 48 ) 必须是 ( 48 ) 的因数。考虑到 ( 48 = 2^4 \times 3 )，让我们尝试不同的 ( a ) 和 ( x ) 的值以满足这个等式。

我们可以尝试 ( a = 1, 2, 3 ) 等较小的数值，因为 ( a ) 必须是一个正整数。同时，( x ) 也必须是整数。我们需要找到一个 ( a ) 和 ( x ) 的组合，使得 ( 3a + 4x - 48 ) 是 ( 48 ) 的因数，且 ( a + x ) 和 ( a + 2x ) 都是整数。

让我们尝试 ( a = 12 )（因为 ( 12 \times 4 = 48 )）： [ x(3 \cdot 12 + 4x - 48) = 48 ] [ x(36 + 4x - 48) = 48 ] [ x(4x - 12) = 48 ]

如果 ( x = 4 )，那么我们得到： [ 4(4 \cdot 4 - 12) = 48 ] [ 4(16 - 12) = 48 ] [ 4 \cdot 4 = 16 ]

这不符合我们的等式，所以 ( x = 4 ) 不是正确的解。我们需要继续尝试其他的 ( x ) 值。

如果我们试图找到 ( x ) 使得 ( 4x - 12 ) 是 ( 48 ) 的因数，我们可以设 ( 4x - 12 = 48 ) 来解 ( x )： [ 4x = 60 ] [ x = 15 ]

现在我们有了 ( a = 12 ) 和 ( x = 15 )，我们可以计算 ( b, c, ) 和 ( d )： [ b = a + x = 12 + 15 = 27 ] [ c = a + 2x = 12 + 2 \cdot 15 = 42 ] [ d = c \cdot r ]

为了确定 ( r )，我们使用 ( d = a + 48 ) 的事实： [ 48 + a = r \cdot c ] [ 60 = r \cdot 42 ]

我们需要 ( 60 ) 是 ( 42 ) 的倍数，这意味着 ( r ) 必须是 ( 60 ) 和 ( 42 ) 的公约数。( 60 ) 和 ( 42 ) 的最大公约数是 ( 6 )，所以我们设 ( r = \frac{60}{42} = \frac{5}{3} )。

现在我们验证一下这个解是否符合所有条件：

• ( a, b, c ) 是等差数列：( b - a = 15, c - b = 15 )（成立）
• ( b,