b,c,d应该是等比

明白了，原来是等比数列的问题。已知条件如下：

1. ( a, b, c ) 成等差数列，设公差为 ( x )。
2. ( b, c, d ) 成等比数列，设公比为 ( r )。
3. ( d - a = 48 )。

根据等差数列的定义，我们有： [ b = a + x ] [ c = a + 2x ]

根据等比数列的定义，我们有： [ c = br ] [ d = cr = b(r^2) ]

同时，根据题目的第三个条件，我们知道： [ d = a + 48 ]

将 ( b ) 和 ( d ) 的表达式代入等比数列的条件，我们可以解出 ( a )、( x ) 和 ( r ) 的关系： [ b(r^2) = a + 48 ] [ b = a + x ] [ c = br = (a + x)r ]

由于 ( c ) 是等差数列中的项，我们也可以将其表示为： [ c = a + 2x ]

现在我们可以将等差和等比数列的关系相等： [ (a + x)r = a + 2x ] [ ar + xr = a + 2x ]

由于 ( a ) 和 ( x ) 都是整数，我们可以简化上式： [ r = \frac{2x}{a} ]

我们还知道 ( a < b < c < d )，其中 ( b = a + x )，所以 ( x > 0 )。另外，( r ) 必须是整数，因为 ( b, c, d ) 成等比数列。

现在让我们用 ( d - a = 48 ) 这个条件来解这个问题： [ d = a + 48 ] [ d = b(r^2) ] [ a + 48 = (a + x)(r^2) ]

将 ( r = \frac{2x}{a} ) 代入上面的等式： [ a + 48 = (a + x)\left(\left(\frac{2x}{a}\right)^2\right) ] [ a + 48 = (a + x)\left(\frac{4x^2}{a^2}\right) ] [ a^3 + 48a = 4x^2 + 4x^3 ] [ a^3 + 48a - 4x^2 - 4x^3 = 0 ]

这是一个关于 ( a ) 的三次方程。我们可以将 ( x ) 视为一个已知数，然后求解 ( a )。但是，由于 ( a, b, c, d ) 都是正整数，我们需要寻找合适的 ( x ) 值，使得 ( a ) 也是正整数。

观察到 ( a ) 和 ( x ) 的关系，我们可以猜测 ( x ) 可能与 ( a ) 有某种简单的关系，比如 ( x = a ) 或 ( x = 2a )。让我们尝试 ( x = a )： [ a = 2a^2 ] [ 2a^2 - a = 48 ] [ 2a^2 - a - 48 = 0 ]

这是一个关于 ( a ) 的二次方程，我们可以使用求根公式来解它： [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2 \cdot 48}}{4} ] [ a = \frac{1 \pm \sqrt{193}}{4} ]

由于 ( a ) 必须是整数，我们需要 ( \sqrt{193} ) 是一个奇数，这样它的平方加上1才是4的倍数。但 ( \sqrt{193} ) 不是一个整数，因此 ( x = a ) 不适用。

接下来，我们尝试 ( x = 2a )： [ a^3 + 48a - 4(2a)^2 - 4(2a)^3 = 0 ] [ a^3 + 48a - 16a^2 - 32a^3 = 0 ] [ -31a^3 + 16a^2 + 48a = 0 ]