已知函数f（x）=ax的平方-ｌx-aｌ，若a=二分之一，写出f（x）的单调区间

当a=(\frac{1}{2})时，函数 (f(x) = ax^2 - |x| - a) 变为 (f(x) = \frac{1}{2}x^2 - |x| - \frac{1}{2})。

由于绝对值的存在，我们需要分两种情况来讨论，即 (x \geq 0) 和 (x < 0)。

对于 (x \geq 0)，函数简化为： [ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} ]

对于 (x < 0)，函数简化为： [ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} ]

我们分别求这两个的导数以确定单调区间：

对于 (x \geq 0)： [ f'(x) = x - 1 ] 令 (f'(x) = 0) 得到 (x = 1)。当 (x > 1)，(f'(x) > 0)，说明函数在区间 ((1, +\infty)) 上是增函数；当 (0 \leq x < 1)，(f'(x) < 0)，说明函数在区间 ([0, 1]) 上是减函数。

对于 (x < 0)： [ f'(x) = x + 1 ] 令 (f'(x) = 0) 得到 (x = -1)。函数在 (x < -1) 时，(f'(x) < 0) 是减函数；在 (-1 < x < 0) 时，(f'(x) > 0) 是增函数。

因此，结合以上分析，我们可以得出 (f(x)) 的单调区间如下：

• 在区间 ((-\infty, -1)) 上是减函数；
• 在区间 ((-1, 0)) 上是增函数；
• 在区间 ([0, 1]) 上是减函数；
• 在区间 ((1, +∞)) 上是增函数。