90x≡21(mod429)

要解这个同余方程 (90x \equiv 21 \pmod{429})，我们可以使用扩展欧几里得算法来找到模数429的逆元，然后将21乘以这个逆元得到x。

首先，我们需要找到429的逆元，使得 (90 \cdot k \equiv 1 \pmod{429})，其中k是90在模429下的逆元。

我们可以用扩展欧几里得算法来找到k：

1. 429 = 4 × 90 + 69
2. 90 = 1 × 69 + 21
3. 69 = 3 × 21 + 6
4. 21 = 3 × 6 + 3
5. 6 = 2 × 3

我们回代以找到k：

1. 3 = 21 - 3 × 6
2. 3 = 21 - 3 × (21 - 3 × 6)
3. 3 = 10 × 21 - 9 × 6
4. 6 = 69 - 3 × 21
5. 3 = 10 × 21 - 9 × (69 - 3 × 21)
6. 3 = 19 × 21 - 9 × 69
7. 69 = 429 - 4 × 90
8. 3 = 19 × 21 - 9 × (429 - 4 × 90)
9. 3 = 19 × 21 + 36 × 90 - 9 × 429

简化后，我们得到：

[ 3 = 43 × 90 - 9 × 429 ]

这意味着429的模逆元是43，因为我们有：

[ 90 \cdot 43 \equiv 3 \equiv 1 \pmod{429} ]

现在，我们将21乘以429的逆元43来找到90的逆元：

[ x = 21 \cdot 43 ]

计算这个乘积：

[ x = 903 ]

但我们需要找到 ( x ) 在模429下的等价类，所以我们需要计算 ( x \mod 429 )：

[ x \mod 429 = 903 \mod 429 = 37 ]

所以，( x \equiv 37 \pmod{429} )。