要找 ( 13 ) 在模 ( 11 ) 下的逆元,我们需要一个整数 ( y ) 使得 ( 13y \equiv 1 \pmod{11} )。
在这种情况下,我们可以尝试从 ( 1 ) 到 ( 10 )(因为它们是模 ( 11 ) 可能的余数)来找到这样的 ( y )。我们逐个尝试:
- ( 13 \times 1 = 13 \equiv 2 \pmod{11} )
- ( 13 \times 2 = 26 \equiv 4 \pmod{11} )
- ( 13 \times 3 = 39 \equiv 5 \pmod{11} )
- ( 13 \times 4 = 52 \equiv 7 \pmod{11} )
- ( 13 \times 5 = 65 \equiv 10 \pmod{11} )
- ( 13 \times 6 = 78 \equiv 5 \pmod{11} )(已出现,跳过)
- ( 13 \times 7 = 91 \equiv 4 \pmod{11} )(已出现,跳过)
- ( 13 \times 8 = 104 \equiv 1 \pmod{11} )
我们发现 ( 13 \times 8 = 104 ),而 ( 104 ) 除以 ( 11 ) 的余数是 ( 1 ),所以 ( 13 ) 在模 ( 11 ) 下的逆元是 ( 8 ):
[ 13^{-1} \equiv 8 \pmod{11} ]