11^-1≡(mod13)

要找 ( 11 ) 在模 ( 13 ) 下的逆元，我们需要一个整数 ( y ) 使得 ( 11y \equiv 1 \pmod{13} )。

我们可以直接尝试从 ( 1 ) 到 ( 12 )（因为它们是模 ( 13 ) 可能的余数）来找到这样的 ( y )。我们可以逐个进行乘法并检查结果：

• ( 11 \times 1 = 11 \equiv 11 \pmod{13} )
• ( 11 \times 2 = 22 \equiv 9 \pmod{13} )
• ( 11 \times 3 = 33 \equiv 7 \pmod{13} )
• ( 11 \times 4 = 44 \equiv 5 \pmod{13} )
• ( 11 \times 5 = 55 \equiv 3 \pmod{13} )
• ( 11 \times 6 = 66 \equiv 10 \pmod{13} )
• ( 11 \times 7 = 77 \equiv 11 \pmod{13} )（与1相同）
• ( 11 \times 8 = 88 \equiv 1 \pmod{13} )

我们发现 ( 11 \times 8 = 88 ) 除以 ( 13 ) 的余数是 ( 1 )，这意味着 ( 11 ) 的逆元是 ( 8 ) 在模 ( 13 ) 下：

[ 11^{-1} \equiv 8 \pmod{13} ]