x≡1(mod4) x≡2(mod3) x≡3(mod5)

这是一个中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，简称CRT）的问题。给定的三个同时同余方程是：

• ( x \equiv 1 \pmod{4} )
• ( x \equiv 2 \pmod{3} )
• ( x \equiv 3 \pmod{5} )

我们需要找到一个数 ( x )，它同时满足以上三个条件。

首先，我们计算所有模数的乘积，即 ( M = 4 \times 3 \times 5 = 60 )。

然后，对于每个同余方程，我们计算 ( M_i )，即 ( M ) 除以该模数的结果：

• ( M_1 = M / 4 = 15 )
• ( M_2 = M / 3 = 20 )
• ( M_3 = M / 5 = 12 )

接下来，我们为每个 ( M_i ) 找到相应的模逆元 ( y_i )，使得 ( M_i \cdot y_i \equiv 1 \pmod{n_i} )：

• 对于 ( M_1 = 15 ) 和 ( n_1 = 4 )，( y_1 ) 应该是 ( 15 ) 在模 ( 4 ) 下的逆元。由于 ( 15 \equiv 3 \pmod{4} )，而 ( 3 \times 3 = 9 \equiv 1 \pmod{4} )，所以 ( y_1 = 3 )。
• 对于 ( M_2 = 20 ) 和 ( n_2 = 3 )，( y_2 ) 应该是 ( 20 ) 在模 ( 3 ) 下的逆元。由于 ( 20 \equiv 2 \pmod{3} )，而 ( 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3} )，所以 ( y_2 = 2 )。
• 对于 ( M_3 = 12 ) 和 ( n_3 = 5 )，( y_3 ) 应该是 ( 12 ) 在模 ( 5 ) 下的逆元。由于 ( 12 \equiv 2 \pmod{5} )，而 ( 2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5} )，所以 ( y_3 = 3 )。

现在，我们可以按照CRT的公式计算 ( x )： [ x = (a_1 \cdot M_1 \cdot y_1 + a_2 \cdot M_2 \cdot y_2 + a_3 \cdot M_3 \cdot y_3) \mod M ] [ x = (1 \cdot 15 \cdot 3 + 2 \cdot 20 \cdot 2 + 3 \cdot 12 \cdot 3) \mod 60 ] [ x = (45 + 80 + 108) \mod 60 ] [ x = 233 \mod 60 ] [ x = 13 ]

所以，满足所有条件的 ( x ) 是 ( x \equiv 13 \pmod{60} )。这意味着 ( x ) 可以是任何形式为 ( 13 + 60k ) 的数，其中 ( k ) 是任意整数。