计算对长的曲线积分 yds,为由y=xy=#围成的区域边界，

关于曲线积分 (\int_C y \, ds) 的计算，我们需要知道曲线 (C) 的具体参数方程或者普通方程，以及被积函数 (y) 与曲线 (C) 的关系。

如果曲线 (C) 是由 (y=x^2) 围成的区域边界，那么我们可以设曲线 (C) 是抛物线 (y=x^2) 上的一段。要计算曲线积分，我们首先要确定曲线的参数化表示。对于抛物线 (y=x^2)，一个自然的参数化选择是 (x) 本身作为参数，即： [ r(t) = (t, t^2) \quad \text{for some interval } a \leq t \leq b ]

在这种情况下，对长的曲线积分 (\int_C y \, ds) 可以表述为： [ \int_C y \, ds = \int_a^b t^2 \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} \, dt = \int_a^b t^2 \sqrt{1 + 4t^2} \, dt ]

这里的 (\sqrt{1 + 4t^2}) 是速度大小的表达式，(dt) 是沿曲线的微小位移。

要完成积分，我们需要具体的积分区间 (a) 到 (b)。如果 (a) 和 (b) 是曲线在 (x) 轴上的端点（即 (y=x^2) 与 (x) 轴交点处的 (x) 值），我们可以将它们代入 (y=x^2) 得到 (a) 和 (b) 的值。

希望这能帮助你理解如何设置和计算曲线积分。如果你有更具体的信息或者需要进一步的帮助，请提供。