题目:一个圆的中心位于环形四边形$ABCD$的边$AB$上。其他三边都与这个圆相切。能否证明$AD + BC = AB$。

可以证明这一点。

设圆心为 (O)，圆与边 (BC)、(CD) 和 (DA) 相切的点分别为 (E)、(F) 和 (G)。由于 (ABCD) 是环形四边形，我们可以利用切线的性质来证明 (AD + BC = AB)。

1. 首先，由于圆在点 (E)、(F) 和 (G) 处与 (BC)、(CD) 和 (DA) 相切，根据切线性质，我们有 (BE = BF)，(CF = CE)，和 (AG = AD)。

2. 考虑三角形 (BOE) 和 (COF)，由于 (O) 是圆心，(OE) 和 (OF) 都是半径，因此 (OE = OF)。同理，在 (DOA) 和 (COF) 中，(OG = OD)。

3. 由于 (BE = BF)（切线段相等）和 (AG = AD)（切线段相等），我们可以得出 (AB = BE + AG) 和 (BC + CD = CF + CE)。

4. 根据切线的性质，对于圆外一点，连接该点与圆心的所有直线中，垂直于过该点的切线的那一条是最短的，并且所有切线都相等。因此，(BE = BF = CD) 和 (AG = AD = CF)。

5. 将这些等式代入到 (AB + CD + DA) 的表达式中，我们得到 (AB + BE + AG = AB + CD + DA)。

6. 由于 (BE = BF = CD) 和 (AG = AD = CF)，那么 (AB = BE + AG) 并考虑到 (BE + AG) 实际上就是 (BC + CD) 的长度（因为它们是由同一组切线段构成的），我们可以得出结论 (AD + BC = AB)。

这个证明依赖于切线的性质和圆心到切点的对称性。所以，给定的条件是成立的，即 (AD + BC = AB)。