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x→0时，e^x﹣1是x的（ ） A．等价无穷小量 B. 同阶无穷小量 C. 高阶无穷小量 D. 低阶无穷小量
发布于 2025-02-18 20:51:56
当 (x \rightarrow 0) 时，我们讨论 (e^x - 1) 和 (x) 的关系。
根据泰勒展开： [ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots ] 所以， [ e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots ]
当 (x ) 趋近于 0 时，高阶项 ((x^2), (x^3), ...) 变得可以忽略不计，此时： [ e^x - 1 \approx x ]
这意味着 (e^x - 1) 和 (x) 在 (x \rightarrow 0) 时的大小是相同的量级。因此：
- 等价无穷小量：如果两个无穷小量的比值极限为1，则它们是等价的。
- 同阶无穷小量：如果它们的比值极限不限于0或无穷大，但为一个常数，则它们是同阶的。
- 高阶无穷小量和低阶无穷小量指一个趋向于0的速度远远快于另一个。
因为 (e^x - 1) 和 (x) 的关系是近似相等的，它们的比值在 (x) 趋向于0时接近1，即： [ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 ] 因此，选项 A：等价无穷小量，是正确的。
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