对于一个2-连通图G，怎么证明G中任意两边共圈

对于一个2-连通图G，即任意两点之间至少存在2条互不相交的路径。那么我们可以利用反证法来证明G中任意两边共圈。 首先，假设存在不共圈的两条边e1和e2，它们连接了G中的两个不同的点u和v。根据2-连通图定义，存在至少两条互不相交的路径pu和pv来连接这两个点。 现在我们分情况讨论： Case 1: pu和pv互不相交 此时e1和e2并不影响pu和pv的连通性，仍然存在pu、e1、e2、pv的路径，因此假设不成立。 Case 2: pu和pv相交 此时，假设不存在一条路径能够同时包括e1和e2。 如果pu和pv的交点在e1和e2之间，则必然存在一条从u到v且不经过e1或e2的路径，与2-连通的假设矛盾。 如果pu和pv的交点在e1或e2上，则存在如下两种情况： - e1和e2在pu和pv上的交叉点重合，此时存在pu、e1、e2、pv的路径，说明假设不成立。 - e1和e2在pu和pv上的交叉点不重合，则存在一段从u到v的路径上除了交叉点以外的部分，我们可以从u出发沿着pu到达交叉点，然后沿着pv走到v，这样就构成了一条不经过e1和e2的路径，又与2-连通的假设矛盾。 因此，无论如何都存在一条路径能够同时包括e1和e2，证毕。因此，任意两边都共圈。