证明G是2-边连通图当且仅当任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路

要证明G是2-边连通图当且仅当任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路，我们可以进行以下两个方面的证明：

（1）如果G是2-边连通图，则任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路。

（2）如果任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路，则G是2-边连通图。

下面分别证明这两个方向的命题：

（1）假设G是2-边连通图。要证明任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路，我们可以采用反证法。

假设存在两个顶点A和B，在G中只存在一条从A到B的路径P。由于G是2-边连通图，我们可以找到另外一条从A到B的路径Q，并且路径P和路径Q没有公共边。然而，由于路径P和路径Q没有公共边，它们的连接必然经过其他的边。考虑从A到B的路径R和从B到A的路径S，由于路径P和路径Q都经过顶点C，必然存在一条从A到B经过顶点C的路径，这条路径与路径P或路径Q必然有公共边，与假设矛盾。因此，假设不成立，即G是2-边连通图时，任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路成立。

（2）假设任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路。要证明G是2-边连通图，我们同样采用反证法。

假设G不是2-边连通图，则存在两个顶点A和B，不存在从A到B的路径。由于任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路，我们可以找到一条从A到B的路径P和另一条从A到B的路径Q，并且路径P和路径Q没有公共边。这与假设矛盾，因为如果不存在从A到B的路径，那么路径P和路径Q必然有公共边。因此，假设不成立，即如果任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路，则G是2-边连通图成立。

综上所述，我们证明了G是2-边连通图当且仅当任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路。