最优化理论运用定义证明集合是凸集设s1，s2为两个凸集，β是实数，则βs1={βx|x∈s1}为凸集

对于集合 ( S_1 ) 和实数 ( \beta ), 定义新的集合 ( \beta S_1 = { \beta x | x \in S_1 } ).

要证明 ( \beta S_1 ) 是凸集，我们需要证明对于任意 ( y_1, y_2 \in \beta S_1 ) 和任意 ( \lambda ) 满足 ( 0 \leq \lambda \leq 1 )，线性组合 ( \lambda y_1 + (1-\lambda) y_2 ) 也属于 ( \beta S_1 )。

由于 ( y_1, y_2 \in \beta S_1 )，存在 ( x_1, x_2 \in S_1 ) 使得 ( y_1 = \beta x_1 ) 和 ( y_2 = \beta x_2 )。

因为 ( S_1 ) 是凸集，对于 ( x_1, x_2 \in S_1 )，有 ( \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 \in S_1 )。

考虑 ( \lambda y_1 + (1-\lambda) y_2 )： [ \lambda y_1 + (1-\lambda) y_2 = \lambda (\beta x_1) + (1-\lambda) (\beta x_2) = \beta (\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) ]

由于 ( \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 \in S_1 )，根据 ( \beta S_1 ) 的定义，我们有 ( \beta (\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \in \beta S_1 )。

因此，对于任意 ( y_1, y_2 \in \beta S_1 ) 和 ( 0 \leq \lambda \leq 1 )，我们都有 ( \lambda y_1 + (1-\lambda) y_2 \in \beta S_1 )，所以 ( \beta S_1 ) 是凸集。