在同构意义下，写出所有类型的四阶群以及它们的运算规则。

在群论中，四阶群（即群的阶为4）的数量是有限的，因为群的阶限制了它的可能结构。四阶群可以是阿贝尔群（交换群），也可以是非阿贝尔群（非交换群）。在同构意义下，意味着我们只考虑那些不是同构的群，即它们的群结构是不同的。

四阶群的类型如下：

1. 平凡群：只有一个元素，即群的单位元，所有运算都等于这个单位元。

2. Z_2 × Z_2：这是一个阿贝尔群，由两个Z_2群的直积构成，其中Z_2是模2的加法群。这个群有四个元素，可以表示为{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}，其中加法运算是逐元素的模2加法。

3. Z_4：这也是一个阿贝尔群，由模4的加法群构成。这个群有四个元素，可以表示为{0, 1, 2, 3}，加法运算是模4的加法。

4. 非阿贝尔群：四阶群中的非阿贝尔群实际上是不存在的。因为根据群论中的一个定理，所有四阶群都是阿贝尔群。这个定理的证明基于以下事实：任何群的阶数如果是p^n的形式，其中p是一个素数，那么这个群要么是循环群，要么是阿贝尔群。由于4是2^2，所以四阶群要么是循环的，要么是由两个Z_2群的直积构成的，两者都是阿贝尔群。

因此，在同构意义下，所有四阶群都是阿贝尔群，它们的运算规则要么是模2加法，要么是模4加法。具体来说：

• 对于Z_2 × Z_2，运算规则是逐元素的模2加法，即(a, b) + (c, d) = (a + c mod 2, b + d mod 2)。

• 对于Z_4，运算规则是模4加法，即a + b mod 4。

这些就是所有类型的四阶群以及它们的运算规则。