求点(1,2,0)到平面 x+2y-2z+1=0 的距离，并计算平面 x+z+1=0 与平面 x=1 的夹角

我们可以分别计算这两个数学问题：

点到平面的距离

点 ( P(1,2,0) ) 到平面 ( x + 2y - 2z + 1 = 0 ) 的距离可以通过下面的公式计算： [ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ] 其中 ( Ax + By + Cz + D = 0 ) 是平面的标准方程，而 ( (x_0, y_0, z_0) ) 是点的坐标。

代入平面方程和点 ( P ) 的坐标： [ A = 1, B = 2, C = -2, D = 1 ] [ x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = 0 ] 计算距离： [ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 4 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{6}{3} = 2 ]

平面与平面的夹角

平面 ( x + z + 1 = 0 ) 和平面 ( x = 1 ) 的夹角可以通过计算两个平面的法向量的夹角来求得。平面 ( x + z + 1 = 0 ) 的法向量为 ( \mathbf{n}_1 = (1, 0, 1) )，平面 ( x = 1 ) 的法向量可以通过将平面方程 ( (x - 1) = 0 ) 重新写为 ( x - 1 = 0 ) 来获得，即 ( \mathbf{n}_2 = (1, 0, 0) )。

两个平面的法向量的夹角是两个向量 (\mathbf{n}_1) 和 (\mathbf{n}_2) 之间的夹角，可以通过点积公式来计算： [ \cos \theta = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} ]

代入 ( \mathbf{n}_1 ) 和 ( \mathbf{n}_2 )： [ \cos \theta = \frac{(1)(1) + (0)(0) + (1)(0)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} ]

所以，夹角 (\theta) 是： [ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) ]

对于角度，每个象限都可以相同的角度值，所以我们需要确保 (\theta) 在 ([0^\circ, 90^\circ]) 范围内，这个结果是 (45^\circ)。

综上所述，点 ( (1,2,0) ) 到平面 ( x+2y-2z+1=0 ) 的距离是 2，平面 ( x+z+1=0 ) 与平面 ( x=1 ) 的夹角是 ( 45^\circ )。