已知 A(1,1,1), B(2,1,1), C(1,4,1), D(1,1,5), 求四面体 ABCD 的体积 V

要计算四面体ABCD的体积V，可以使用向量法。具体来说，可以通过以下步骤求解：

1. 首先，定义点A、B、C、D的坐标向量： [ A(1, 1, 1) ] [ B(2, 1, 1) ] [ C(1, 4, 1) ] [ D(1, 1, 5) ]

2. 计算向量 (\vec{AB})、(\vec{AC}) 和 (\vec{AD})： [ \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - 1, 1 - 1) = (1, 0, 0) ] [ \vec{AC} = C - A = (1 - 1, 4 - 1, 1 - 1) = (0, 3, 0) ] [ \vec{AD} = D - A = (1 - 1, 1 - 1, 5 - 1) = (0, 0, 4) ]

3. 使用行列式方法求解四面体的体积。四面体的体积 V 可以通过以下公式计算： [ V = \frac{1}{6}|\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| ]

4. 计算向量叉乘 (\vec{AC} \times \vec{AD})： [ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 4 \ \end{vmatrix} = \mathbf{i} (3 \times 4 - 0 \times 0) - \mathbf{j} (0 \times 4 - 0 \times 0) + \mathbf{k} (0 \times 0 - 3 \times 0) = \mathbf{i} (12) = (12, 0, 0) ]

5. 计算点积 (\vec{AB} \cdot (12, 0, 0))： [ \vec{AB} \cdot (12, 0, 0) = 1 \times 12 + 0 \times 0 + 0 \times 0 = 12 ]

6. 最后，计算四面体的体积： [ V = \frac{1}{6}|\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} \times |12| = 2 ]

所以，四面体ABCD的体积为： [ V = 2 ]