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在 3 元对称群 S3 中，阶为 3 的元有( )个
发布于 2025-02-18 20:52:51
在群论中，群 (S_3) 是所有三个元素的排列构成的对称群。对于 (S_3) 来说，有三个元素（1，2，3），因此集合内的元素有 3! = 6个排列。这些排列中，阶为3的排列是那些满足不同一排列恒等的情况下，需要自身乘以两次才能得出恒等排列的元素。
我们可以通过列举 (S_3) 中所有可能的排列，并计算其阶来看它们中哪些的阶为3：
- 恒等排列 ((1))，阶为1。
- 排列 ((123))，包含3个元素的循环，阶为3。
- 排列 ((132))，同样包含3个元素的另一个方向上的循环，阶也为3。
- 排列 ((12)) 和 ((13))、((23))，这些都是交换两个元素的排列，称为对换，它们的阶为2。
- 其他排列已在上述考虑过。
所以，在3元对称群 (S_3) 中，有两个排列 ((123)) 和 ((132)) 的阶为3。
答案是：2个。
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