设G=（Z,+,0）,H={1,-1,i,-i},求证G与H同态

要证明一个群 ( G ) 与一个群 ( H ) 同态，我们需要找到一个映射 ( f: G \rightarrow H )，它满足以下条件：

1. 同态性质：对于任意 ( a, b \in G )，都有 ( f(a + b) = f(a) \cdot f(b) )，其中 ( + ) 是 ( G ) 上的群运算，而 ( \cdot ) 是 ( H ) 上的群运算。
2. 恒等元素的映射：( f(e_G) = e_H )，其中 ( e_G ) 是 ( G ) 的单位元素，( e_H ) 是 ( H ) 的单位元素。

给定的群 ( G = (\mathbb{Z}, +, 0) ) 是整数集 ( \mathbb{Z} ) 配合加法运算和0作为单位元素构成的群。群 ( H = {1, -1, i, -i} ) 配合乘法运算，并且 ( 1 ) 是它的单位元素。

要证明 ( G ) 与 ( H ) 同态，我们可以尝试构造一个映射 ( f: \mathbb{Z} \rightarrow {1, -1, i, -i} )，使得上述两个条件得到满足。

考虑映射 ( f ) 如下定义： [ f(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 0 \ (-1)^n & \text{if } n \text{ 是奇数} \ i & \text{if } n = 2k \text{ 对某个整数 } k \text{ 且 } k \neq 0 \ -i & \text{if } n = 2k + 1 \text{ 对某个整数 } k \text{ 且 } k \neq 0 \end{cases} ]

首先检查恒等元素的映射： [ f(0) = 1 = e_H ] 满足了恒等元素的条件。

接下来验证同态性质。对于任意的整数 ( m, n )，我们有：

• 如果 ( m + n = 0 )，则 ( f(m) = f(n) = 1 )，所以 ( f(m + n) = f(0) = 1 = 1 \cdot 1 = f(m) \cdot f(n) )。
• 如果 ( m + n ) 是奇数，则 ( f(m + n) = (-1)^{m+n} )，而 ( f(m) \cdot f(n) = (-1)^m \cdot (-1)^n = (-1)^{m+n} )。
• 如果 ( m + n ) 是偶数，我们可以通过类似的方式验证 ( f(m) \cdot f(n) = f(m + n) )。

因此，映射 ( f ) 满足同态性质，它将 ( G ) 中的加法运算映射到 ( H ) 中的乘法运算，并且 ( f ) 还将 ( G ) 的单位元素 ( 0 ) 映射到 ( H ) 的单位元素 ( 1 )。

综上所述，我们证明了群 ( G ) 和群 ( H ) 之间存在同态映射 ( f )，即 ( G ) 与 ( H ) 同态。