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求函数y=3x^2-6x+30的值域，其中x∈[-1,1]
发布于 2024-10-06 22:14:15
为了求解函数 y = 3x^2 - 6x + 30 在区间 x ∈ [-1, 1] 上的值域，我们可以按照以下步骤进行：
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找到二次函数的对称轴： 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的对称轴为 x = -b/(2a)。对于此函数，a = 3, b = -6。 [ x = -\frac{-6}{2 \times 3} = 1 ] 对称轴在 x = 1。
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确定函数的开口方向： 由于 a = 3 > 0，函数开口向上。
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计算临界点的函数值： 在 x = 1 处： [ y = 3(1)^2 - 6(1) + 30 = 3 - 6 + 30 = 27 ]
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计算边界点的函数值： 在 x = -1 和 x = 1（这里边界点重合，只需计算一次）。
在 x = -1 处： [ y = 3(-1)^2 - 6(-1) + 30 = 3 + 6 + 30 = 39 ]
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比较所有点的函数值：
- 在 x = -1 处，y = 39
- 在 x = 1 处，y = 27
因为函数开口向上，所以在端点处取到最大值，最小值出现在对称轴上。
因此，函数 y = 3x^2 - 6x + 30 在 x ∈ [-1, 1] 上的值域是 [27, 39]。
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