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已知由方程 $3kx^2-2x+8=0$ 的根组成的集合$A$ 只有一个元素，试求实数 $k$的值。(若有多个解，使用"或"连接；非整数使用分数表述，例如:10或20或1/5)
发布于 2024-10-06 22:18:55
对于给定的二次方程 (3kx^2 - 2x + 8 = 0)，要使其根的集合 (A) 只有一个元素，意味着方程必须有且仅有一个解。这只有在方程的判别式（(\Delta)）等于零时才可能发生。
二次方程 (ax^2 + bx + c = 0) 的判别式 (\Delta) 定义为： [ \Delta = b^2 - 4ac ]
对于方程 (3kx^2 - 2x + 8 = 0)，我们有：
- (a = 3k)
- (b = -2)
- (c = 8)
代入判别式公式： [ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3k \cdot 8 ] [ \Delta = 4 - 96k ]
为了使方程有且仅有一个解，判别式 (\Delta) 必须等于零： [ 4 - 96k = 0 ]
解这个方程求 (k)： [ 4 = 96k ] [ k = \frac{4}{96} ] [ k = \frac{1}{24} ]
因此，实数 (k) 的值是 (\frac{1}{24})。
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