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题目:质数有无限多个吗？
发布于 2024-10-23 10:20:00
是的，质数有无限多个。
这个结论最早由古希腊数学家欧几里得证明。欧几里得的证明是一个经典的反证法：
假设质数只有有限个，我们可以将它们全部列出：( p_1, p_2, \ldots, p_n )。
现在构造一个新的数 ( P )：( P = p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n + 1 )。
如果 ( P ) 是一个质数，那么我们就找到了一个不在原来列表中的新质数。
如果 ( P ) 不是一个质数，那么它必然可以被某个质数整除。但是，无论我们用列表中的哪一个质数去整除 ( P )，都会余1。这意味着 ( P ) 不能被列表中的任何一个质数整除。
因此，无论哪种情况，我们都得到了一个不在原来列表中的质数。这与我们的假设矛盾，即质数是有限的。
所以，质数必须是无限的。
这个证明展示了数学中反证法的魅力，通过假设结论的反面，可以推导出明显的矛盾，从而证明原结论的正确性。质数的无限性是数学中一个深刻而美丽的结果。
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